Monte Carlo Simulation mit GBM Eine der häufigsten Möglichkeiten zur Schätzung des Risikos ist die Verwendung einer Monte Carlo Simulation (MCS). Um zum Beispiel den Value at Risk (VaR) eines Portfolios zu berechnen, können wir eine Monte-Carlo-Simulation durchführen, die versucht, den schlimmsten Verlust für ein Portfolio, der ein Konfidenzintervall über einen bestimmten Zeithorizont gegeben hat, vorauszusagen - wir müssen immer zwei angeben Bedingungen für VaR: Vertrauen und Horizont. (Für verwandte Lesung siehe die Verwendungen und Grenzen der Volatilität und Einführung in Value at Risk (VAR) - Teil 1 und Teil 2.) In diesem Artikel werden wir eine grundlegende MCS auf einen Aktienkurs angewendet überprüfen. Wir brauchen ein Modell, um das Verhalten des Aktienkurses anzugeben, und verwenden Sie eines der häufigsten Modelle in der Finanzierung: geometrische Brownsche Bewegung (GBM). Deshalb, während Monte-Carlo-Simulation auf ein Universum von verschiedenen Ansätzen der Simulation verweisen kann, werden wir hier mit den einfachsten beginnen. Wo zu starten Eine Monte Carlo Simulation ist ein Versuch, die Zukunft schon oft vorhersagen. Am Ende der Simulation produzieren Tausende oder Millionen von zufälligen Studien eine Verteilung der Ergebnisse, die analysiert werden können. Die Grundlagen sind: 1. Geben Sie ein Modell an (zB geometrische Brownsche Bewegung) 2. Generieren Sie zufällige Versuche 3. Verarbeiten Sie die Ausgabe 1. Geben Sie ein Modell an (zB GBM) In diesem Artikel verwenden wir die geometrische Brownsche Bewegung (GBM), Das ist technisch ein Markov-Prozess. Dies bedeutet, dass der Aktienkurs einem zufälligen Spaziergang folgt und zumindest mit der schwachen Form der effizienten Markthypothese (EMH) übereinstimmt: Vergangene Preisinformationen sind bereits inbegriffen und die nächste Kursbewegung ist bedingt unabhängig von früheren Kursbewegungen . (Für mehr auf EMH, lesen Sie die Arbeit durch die effiziente Markthypothese und was ist Markt-Effizienz) Die Formel für GBM ist unten gefunden, wo S ist der Aktienkurs, m (die griechische mu) ist die erwartete Rendite. S (griechisches Sigma) ist die Standardabweichung der Rückkehr, t ist Zeit und e (griechisches epsilon) ist die zufällige Variable. Wenn wir die Formel neu anordnen, um nur für die Änderung des Aktienkurses zu lösen, sehen wir, dass GMB die Änderung des Aktienkurses sagt, ist der Aktienkurs S multipliziert mit den beiden Begriffen, die innerhalb der Klammer gefunden werden: Der erste Begriff ist ein Drift und der zweite Begriff ist ein Schock. Für jeden Zeitraum geht unser Modell davon aus, dass der Preis durch die erwartete Rendite driftet. Aber die Drift wird durch einen zufälligen Schock schockiert (addiert oder subtrahiert). Der zufällige Schock ist die Standardabweichung s multipliziert mit einer Zufallszahl e. Das ist einfach eine Möglichkeit, die Standardabweichung zu skalieren. Das ist die Essenz von GBM, wie in Abbildung 1 dargestellt. Der Aktienkurs folgt einer Reihe von Schritten, wobei jeder Schritt ein Drift plusminus ein zufälliger Schock ist (selbst eine Funktion der Aktien Standardabweichung): Eine Markov-Kette ist eine diskrete - Zeit-zufälliger Prozess mit Markov-Eigenschaft. Seine Komponenten sind Zustände und Wahrscheinlichkeitsübergänge zwischen ihnen. Markov-Eigenschaft besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des nächsten Zustands nur vom aktuellen Zustand abhängt. So ist die Markov-Kette ein Satz von Zuständen und alle Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Staaten. Einfache Kette für Drift Let8217s nehmen an, dass die Schätzung des Driftparameters zu den folgenden 2 Zuständen führen könnte: Positiv, dh Drift ist größer oder gleich Null Negativ, dh Drift ist kleiner als Null. So könnte man Markov Kette für diese Zustände konstruieren, wie unten gezeigt . Im Jahr 2010 für USDCHF die täglichen Drifts gibt die folgenden Wahrscheinlichkeiten: Markov Kette hat stationäre Verteilung. Es wird berechnet durch Putting: und damit durch Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit: So sind die stationären Wahrscheinlichkeiten von positiven und negativen Drifts: Unglücklicherweise gibt es keine Hinweise darauf, wie man zukünftige Drift voraussagt. Let8217s sehen, was es für Volatilitätsparameter geben kann. Einfache Kette für Volatilität Für die Volatilität () 8220up8221 bedeutet Erhöhung der Volatilität und (-) 8220down8221 bedeutet Tropfen der Volatilität. Im Jahr 2010 sind die täglichen historischen Volatilitätswahrscheinlichkeiten von USDCHF: Diese Asymmetrie in transitiven Wahrscheinlichkeiten scheint Wurzeln in der Definition von 8220up8221 und 8220down8221 zu haben. Es ist relativ leicht zu zeigen, dass, wenn die Volatilität eine Zufallsvariable mit der kumulativen Verteilungsfunktion F (x) ist, dann Wahrscheinlichkeiten von oben und unten und deren Übergänge sein sollten: Zustandswahrscheinlichkeiten werden wie folgt abgeleitet: wobei F (x) eine kumulative Verteilung ist Funktion. Die Integration des inneren Ausdrucks ergibt sich: Und die Abschwächungswahrscheinlichkeit ist dementsprechend: Übergangswahrscheinlichkeiten erfordern ein bisschen Mathe. Nach der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist die Aufwärtswahrscheinlichkeit: Let8217s berechnen die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von 2 8220ups8221: Integration durch y und x ergibt sich: Daher ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von oben vorherigen vorherigen: Und das entspricht gut mit experimentellen Daten. Der Up-Down-Fall wird durch Folgendes gelöst:
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